[2016년 대화고]

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[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

등식 [eqn: {}_{10} {rm C} _{n+1}={}_10 {rm C}_2n+3]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 [eqn: 4]의 배수가 되는 경우의 수는? [4.3점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

다섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 서로 다른 세 개의 숫자를 사용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는? [4.3점]

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 120]

부등식 [eqn: 100<_{n}{rmC}_{0}+_{n}{rmC}_{1}+_{n}{rmC}_{2}+cdots+_{n}{rmC}_{n}<200]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 5]명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때, 남학생끼리 이웃하여 앉는 방법의 수는? [4.4점]

④

① [eqn: 40]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 480]

그림과 같이 원 위에 같은 간격으로 놓은 [eqn: 6]개의 점이 있다. 두 점을 이어서 만들 수 있는 선분의 개수를 [eqn: a], 세 점을 이어서 만들 수 있는 삼각형의 개수를 [eqn: b], [eqn: 4]개의 점을 이어서 만들 수 있는 직사각형의 개수를 [eqn: c]라 할 때, [eqn: a-b+c]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

남녀 [eqn: 12]명 중에서 대표 [eqn: 3]명을 뽑을 때, 적어도 남자 한 명을 포함하여 뽑는 방법의 수가 [eqn: 210]이다. [eqn: 12]명 중 남자는 몇 명인가? [4.4점]

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

파란 공 [eqn: 6]개와 노란 공 [eqn: 5]개를 일렬로 배열할 때, 양 끝에 같은 색의 공이 놓이는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: 42]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 126]	⑤ [eqn: 210]

그림과 같이 정육각형 모양의 탁자 둘레에 놓인 [eqn: 6]개의 의자에
[eqn: 3]명의 학생이 앉는 방법의 수는? [4.5점]

①

① [eqn: 20]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 120]

[eqn: left(ax^2 - 3overx right)^5]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수가 [eqn: -270]이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

방정식 [eqn: x+y+z+omega=6]을 만족시키는 [eqn: -1] 이상의 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```omega)]의 개수는? [4.5점]

⑤

① [eqn: {}_4 rmC {}_2]	② [eqn: {}_4 rmH {}_2]	③ [eqn: {}_6 rmC {}_4]

④ [eqn: {}_4 rmH {}_6]	⑤ [eqn: {}_4 rmH {}_10]

분할에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 자연수 [eqn: n]을 [eqn: k]개의 자연수로 분할하는 방법의 수를 [eqn: P(n,```k)], [eqn: n]개의 원소를 갖는 집합을 [eqn: k]개로 분할하는 방법의 수를 [eqn: S(n,```k)]라 한다.) [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: S(n,```1)=1]

ㄴ. [eqn: S(10,```4)=S(9,```4)+4cdotS(9,```4)]

ㄷ. [eqn: P(10,```4)=P(6,```1)+P(6,```2)+P(6,```3)+P(6,```4)]

ㄹ. [eqn: S(7,```3)]은 서로 같은 구슬 [eqn: 7]개를 서로 같은

상자에 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수와 같다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 함수 중에서
[eqn: f(1)+f(2)+f(3)=5]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [4.6점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음 중 그 값이 나머지 넷과 다른 하나는? [4.6점]

③

① [eqn: 6]명의 학생 중에서 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수

② [eqn: 4]개의 ○와 [eqn: 2]개의│를 일렬로 배열하는 방법의 수

③ 똑같은 공 [eqn: 4]개를 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에

빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수

④ [eqn: 2times3times5times7times11times13]을 [eqn: 1]보다 큰 다섯 개의 자연수

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`], [eqn: e]의 곱으로 나타내는 방법의 수

⑤ 여섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 서로 다른

네 개의 숫자를 뽑는 방법의 수

그림과 같이 입구에 구슬을 넣으면 갈림길을 따라 내려오다가 [eqn: 4]개의 출구 중에서 한 개의 출구로 빠지는 비탈면이 있다. 입구에 서로 다른 구슬 [eqn: 6]개를 넣었을 때, [eqn: 4]개의 출구에 놓여있는 서로 같은 상자에 구슬이 담기는 경우의 수는? (단, 상자가 놓인 위치는 생각하지 않으며 빈 상자가 없도록 한다.) [4.6점]

①

① [eqn: 65]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 122]

④ [eqn: 186]	⑤ [eqn: 187]

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 각각 적힌 [eqn: 4]개의 공을 [eqn: 3]개의상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 나누어 넣으려고 한다. 어느 상자도 넣어진 공에 적힌 수의 합이 [eqn: 9] 이상이 되는 경우가 없도록 공을 상자에 나누어 넣는 방법의 수는? (단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 [eqn: 0]으로 생각한다.) [4.6점]

②

① [eqn: 66]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 81]

크기가 같은 ●모양의 자석 [eqn: 3]개, ♣모양의 자석 [eqn: 2]개, ▲모양의 자석 [eqn: 1]개 중에서 [eqn: 4]개의 자석을 골라 다음과 같이 배열하려고 한다.
●●♣♣, ●♣●▲, ●♣♣▲, …
이 때 만들 수 있는 모든 배열의 수는? [4.7점]

⑤

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmP]지점에서 우회전이 되지 않는다고 할 때, 택시를 타고 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점까지 최단거리로 가는 방법의 수는? [4.7점]

③

① [eqn: 102]	② [eqn: 108]	③ [eqn: 114]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 126]

그림과 같이 [eqn: 9]개의 칸으로 이루어진 상자에 똑같은 전화기 [eqn: 6]대를 넣으려고 한다. 전화기를 넣은 칸의 수가 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개인 줄이 가로줄과 세로줄에 각각 한 번씩 있도록 전화기를 넣는 모든 경우의 수는? [4.7점]

①

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

서로 다른 [eqn: 4]종류의 분수 연출이 있고, 각각의 연출 시간은 [eqn: 20]초라고 한다. [eqn: 4]종류의 분수 연출을 모두 사용하여 [eqn: 100]초짜리 분수 공연을 만들려고 할 때, 가능한 분수 공연의 가짓수는? (단, 같은 종류의 분수 연출이 연속되지 않게 하고, 각 연출 사이에는 쉬는 시간이 없게 한다.) [4.7점]

②

① [eqn: 72]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 216]

④ [eqn: 288]	⑤ [eqn: 720]

서술형

[eqn: rmDEAHWA]의 여섯 문자를 모두 사용하여 일렬로 배열하는 순열이 있다. 다음 물음에 답하시오. [총 5.0점]

(1) [eqn: 360]

(2) [eqn: 240]

(1) 이 여섯 문자로 만들어지는 순열은 모두 몇 가지인지

구하시오. [2.0점]

(2) 이 순열들 중에서 문자 [eqn: rmD], [eqn: rmH]가 인접하지 않는 순열은

몇 가지인지 구하고 그 과정을 서술하시오. [3.0점]

[eqn: sum_k=1 ^10 k left({}_10 {rmC} {}_k right)^2]의 값을 구하고자 한다. 다음 물음에 답하시오. [총 5.0점]

(1) [eqn: `_19 {rmC}_9]

(2) [eqn: 10times _{19} rm C it rm _{9}]

(1) [eqn: (1+x)^19]의 전개식과 [eqn: (1+x)^9 (1+x)^10]의 전개식에서

[eqn: x^9]의 계수를 비교하여
[eqn: sum _{k=1} ^{10 } ` _{9} {rmC} _{k-1} it CDOT _{10} {rm C} _{10-k}]

[eqn: = _{9} {rm C _{0} CDOT _{10} rm C _{9}+_9 rmC_1 cdot _10 rmC_8 + _9 rmC _7 cdot _10 rmC _7 +cdots+ _9 rmC_9 cdot _10 rmC_0]
의 값을 [eqn: {}_n rmC_r]꼴로 나타내시오. [2.0점]

(2) (1)의 결과와 다음의 (가), (나)를 이용하여 [eqn: sum_k=1^10 k left({}_10 {rmC}_k right)^2]의

값을 [eqn: m cdot {}_n {rmC}_r]의 꼴로 나타내고, 그 과정을 서술하시오.

(단, [eqn: m], [eqn: n], [eqn: r]은 자연수이다.) [3.0점]

(가) [eqn: {}_n {rmC} _k ={}_n {rmC}_n-k] (단, [eqn: 0LEQk leqn])

(나) [eqn: k cdot {}_n {rmC} _k = n cdot {}_n-1 {rmC} _n-k] (단, [eqn: 1leq k leq n])

[2016년 대화고]

[2학년 1학기 중간 확률과 통계]

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